Question

一個(gè)平面用n條直線去劃分，最多能被分成幾塊?此問題可以推廣到空間嗎?若能，試解答此空間的問題．

Answer 1

答案：略
解析：

解：方法一：(歸納法)當(dāng)這些直線互不平行且沒有兩條以上的直線交于同一點(diǎn)時(shí)，才能使分成的塊數(shù)最多． 當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，平面被分成的塊數(shù)分別是：，，，，，如果只是從這5個(gè)數(shù)字來(lái)尋找規(guī)律，是比較困難的．可以從一條直線劃分平面開始，逐條增加，尋求塊數(shù)的增加規(guī)律，如下圖所示． 平面塊數(shù)：2＋1＋l=2＋2　　4＋1＋2=4＋3 7＋2＋2=7＋4　　11＋3＋2=11＋5 每增加一條直線l，l都要與前面的n－1條直線相交，增加的平面塊數(shù)是n塊，即(n－1)＋1=n．其中有一個(gè)常數(shù)2，即增加的平面的塊數(shù)可以看作是與n－2條直線是一致的，與另一條直線相交時(shí)增加2塊．嘗試在上面的塊數(shù)中分出一個(gè)常數(shù)2以及塊數(shù)中找到總的直線的條數(shù)n，則： 2=1＋2＋(－1)，2＋2=2＋2，4＋3=2＋3＋2，7＋4=4＋5＋2，11＋5=9＋5＋2，而2要寫成三個(gè)數(shù)相加的形式，則還缺數(shù)值，顯然加上一個(gè)數(shù)不好尋找，可以嘗試增加倍數(shù)，例如乘以2，可得： ，，，，，括號(hào)內(nèi)的數(shù)值分別是l，4，9，16，25，恰好為完全平方數(shù)，所以可以猜想：． 方法二：設(shè)n－1條直線把平面分成塊，現(xiàn)在我們?cè)偬砑拥?/FONT>n條直線，它與前面n－1條直線都相交，增加的平面塊數(shù)恰好為n塊． 所以當(dāng)n=1，2，…，n時(shí)，即， ，． 　　……　　　…… ，． 所以，即， 所以． 因此一個(gè)平面用n條直線去劃分，最多被分成塊． 類比平面幾何中的問題，可以得到空間的平面劃分空間的塊數(shù)的問題： 一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分，最多能被分成幾部分? 顯然，在空間中，當(dāng)且僅當(dāng)以下情況時(shí)，產(chǎn)生的空間塊數(shù)最多：(1)三個(gè)或三個(gè)以上的平面產(chǎn)生的交線互不平行；(2)四個(gè)以上平面不能交于一點(diǎn)． 考慮增加一個(gè)平面，可以把空間劃分的塊數(shù)所增加的數(shù)．由于第n個(gè)平面與前n－1個(gè)平面都相交，則在第n個(gè)平面上就有n－1條交線，那么第n個(gè)平面被這n－1條交線分成的平面塊數(shù)是，而每個(gè)平面塊把它所在的那個(gè)空間塊一分為二，于是增加了個(gè)空間塊，所以空間被n個(gè)平面劃分成的塊數(shù)與空間被n－1個(gè)平面劃分成的塊數(shù)的關(guān)系是：． 令n=1，2，…，n，則： 即：． 即：． 即：． 　　……　　　　　　　　…… 即：． 把以上n個(gè)等式相加得： 故一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分，最多能被分成個(gè)空間塊．