Question

已知函數(shù)，當(dāng)x=1時，函數(shù)y=f（x）取得極小值．
（1）求a的值；
（2）證明：若，則．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
．
∵x=1時函數(shù)y=f（x）取得極小值，
∴f′（1）=0，得a=1．
當(dāng)a=1時，在（0，1）內(nèi)f′（x）＜0，在（1，+∞）內(nèi)f′（x）＞0，
∴x=1是函數(shù)y=f（x）的極小值點．
故a=1．
（2）證明：f（x）-x等價于：f（x）+x．
令g（x）=f（x）+x，則，
令h（x）=x²+x-1，
∵h(yuǎn)（0）=-1＜0，h（）=＜0，
∴時，h（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減．
∴g（x），即g（x）＞2-ln2+=，
∴f（x）+x，
故f（x）．
分析：（1）因為當(dāng)x=1時，函數(shù)y=f（x）取得極小值，所以f′（1）=0，從而求出a值，再驗證x=1是否極值點即可．
（2）當(dāng)時，?f（x）+x＞?，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）+x的最小值即可．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及極值概念，注意轉(zhuǎn)化思想在本題中的運用．