Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

x

，g（x）與f（x）關(guān)于點(diǎn)M（-

1

2

，

1

2

）對(duì)稱．
（1）求g（x）的解析式，并求出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞b＞0，c=

1

(a-b)b

，求證：g（a）+g（c）＞

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,函數(shù)的圖象與圖象變化,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：不等式

分析：（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出g（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可，
（2）先利用均值不等式求得a+c≥3，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到g（a+c）≥g（3）=

3

4

，再利用放縮法得到g（a）+g（c）＞g（a+c），問題得以證明

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)（x，y）在f（x）圖象上，設(shè)點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)M（-

1

2

，

1

2

）對(duì)稱點(diǎn)為（x'，y'），則點(diǎn)（x'，y'）在g（x）圖象上，由中點(diǎn)公式：x+x'=-1，y+y'=1；
所以：x=-1-x'，y=1-y'；
∵（x，y）在f（x）圖象上，即y=-

1

x

；
∴1-y'=

1

1+x′

，
∴y′=

x′

x′+1

，
∴g（x）=

x

x+1

=1-

1

x+1

，
∴g′（x）=

1

(x+1)2

＞0，
∴函數(shù)g（x）函數(shù)為增函數(shù)，
（2）∵a＞b＞0 c=

1

(a-b)b

，
∴a+c=a+

1

(a-b)b

=（a-b）+b+

1

(a-b)b

≥3

(a-b)•b• 1 (a-b)b

=3，
∵g（x）=

x

x+1

在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（a+c）≥g（3）=

3

4

，
∵g（a+c）=

a+c

a+c+1

，
∴g（a）+g（c）=

a

a+1

+

c

c+1

＞

a

a+c+1

+

c

a+c+1

=

a+c

a+c+1

=g（a+c）
即g（a）+g（c）＞g（a+c）≥

3

4

，
∴g（a）+g（c）＞

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，函數(shù)的單調(diào)性，均值不等式，放縮法，考查了轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，屬于難題