已知，其中是自然常數(shù)，
（Ⅰ）當(dāng)時, 研究的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

解析試題分析：（1）因為，，那么求解導(dǎo)數(shù)的正負，得到單調(diào)性的求解。
（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，，構(gòu)造函數(shù)令，確定出最大值。比較大小得到。
解：（Ⅰ），   ……2分
∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增   …………4分 
∴的極小值為                         ……6分
（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，……5分
令，，  …………8分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增  ………9分
∴     ………11分
∴在（1）的條件下，……………………………12分
考點：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負判定函數(shù)單調(diào)性，和導(dǎo)數(shù)為零點的左右符號的正負，進而得到函數(shù)極值，進而求解最值。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分15分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；
（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（10分）已知在x=2時有極大值6，在x=1時有極小值.
⑴ 求的值；
⑵ 求在區(qū)間上的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知
(1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式；
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖像過點的切線方程；
(3)對一切的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為-2，求的取值范圍；
（3）若對任意，且恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)，曲線過點，且在點處的切線斜率為2.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的極值點；
（Ⅲ）對定義域內(nèi)任意一個，不等式是否恒成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知函數(shù)
（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本題滿分13分) 已知函數(shù),函數(shù)
（I）當(dāng)時,求函數(shù)的表達式;
（II）若,且函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;
（III）對于（II）中所求的a值，若函數(shù)，恰有三個零點，求b的取值范圍。

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