84已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足an+Sn=2n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列，并求出an；
（Ⅱ）設(shè)bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大項．

解：（Ⅰ）證明：由a1+s1=2a1=2得a1=1；
由an+Sn=2n得
an+1+Sn+1=2（n+1）
兩式相減得2an+1-an=2，即2an+1-4=an-2，即an+1-2=（an-2）
是首項為a1-2=-1，公比為的等比數(shù)列．故an-2=-，故an=2-，．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
由
由bn+1-bn＜0得n＞3，所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn
故bn的最大項為．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件進行變形，整理成等比數(shù)列的形式，得證．
（Ⅱ）求出bn=（2-n）（an-2）的通項公式，再作差比較相鄰項的大小，即可找出最大項．
點評：本題考查等比關(guān)系的確定以及用作差法求數(shù)列的最大項，屬于數(shù)列中的中檔題，有一定的綜合性，要求答題者有較好的觀察能力及轉(zhuǎn)化化歸的能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}，其中a1=
1
2
，數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an（n≥1），數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N*，n≥2，有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
＜
m-8
4
恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若數(shù)列{cn}滿足cn=
1
nan
，n為奇數(shù)
bn，n為偶數(shù)
當(dāng)n是偶數(shù)時，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：內(nèi)蒙古赤峰箭橋中學(xué)2011屆高三第一次月考數(shù)學(xué)文綜試題 題型：013

已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝3，前三項和S3＝21，則a3＋a4＋a5＝

[　　]
A．

2

B．

33

C．

84

D．

189

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：云南省昆明一中2011屆高三第一次月考文科數(shù)學(xué)試題 題型：013

已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝3，前三項和S3＝21，則a3＋a4＋a5＝

[　　]
A．

2

B．

33

C．

84

D．

189

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：東城區(qū)一模 題型：解答題

已知數(shù)列{an}，{bn}，其中a1=
1
2
，數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an（n≥1），數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2bn．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在自然數(shù)m，使得對于任意n∈N*，n≥2，有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
＜
m-8
4
恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若數(shù)列{cn}滿足cn=
1
nan
，n為奇數(shù)
bn，n為偶數(shù)
當(dāng)n是偶數(shù)時，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

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