Question

【題目】已知直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，.

（1）求線段中點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè),,由可解得,聯(lián)立直線:與拋物線,根據(jù)韋達(dá)定理可得,則,進(jìn)而可知直線恒過(guò)定點(diǎn),設(shè)為,由,作差可得,將直線的斜率公式代入,即可求得點(diǎn)的軌跡方程,并檢驗(yàn)時(shí)是否滿足；

（2）分別聯(lián)立直線與點(diǎn)的軌跡方程,直線與拋物線,利用兩點(diǎn)間距離公式和弦長(zhǎng)公式分別求得和,由可得范圍,進(jìn)而求得的范圍,從而求解.

解:（1）設(shè),,

,

,即,

,,

設(shè)直線:,代入,

得,則,

,解得,

:,

直線過(guò)定點(diǎn),

設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,

由,作差可得,

,即,

當(dāng)時(shí),中點(diǎn)滿足上述方程,

故軌跡的方程為.

（2）由（1）,由可得,解得或,

與曲線交于,兩點(diǎn),,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

設(shè),,

,

由可得,則,

所以,,

則,

,

由交曲線于,兩點(diǎn),知,

,,

故所求的取值范圍是.