Question

已知A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左右頂點(diǎn)，B（2，0）過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交橢圓與M，N，交直線x=4于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列，T（

1

4

，0）點(diǎn)是定點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程；
（2）求三角形MNT面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)知a=2，b=

3

．由此能求出橢圓C的方程．
（2）由點(diǎn)差法知PQ的中垂線交x軸于T（

1

4

，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+1與橢圓聯(lián)立可得（3m²+4）y²+6my-9=0，|y₁-y₂|²=144

m2+1

(3m2+4)2

，由此能求出三角形MNT的面積的最大值．

解答： 解：（1）∵A，B是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左右頂點(diǎn)，B（2，0），
∴a=2，
設(shè)直線PF的斜率為k，設(shè)右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（c，0）
則PF的方程為y=k（x-c）
P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4k-kc），PA的斜率為

1

6

（4k-kc），
PB斜率為

1

2

（4k-kc），
∵直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列
∴2k=

1

6

（4k-kc）+

1

2

（4k-kc），
解得c=1，
∴b=

4-1

=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（7分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+1與橢圓聯(lián)立，
得（3m²+4）y²+6my-9=0，
|y₁-y₂|²=

36m2

(3m2+4)2

+

36

3m2+4

=144

m2+1

(3m2+4)2

，（12分）
令t=m²+1≥1，則|y₁-y₂|²=144

t

(3t+1)2

=144

1

9t+ 1 t +6

≤9，
故（S_△MNT）_max=

1

2

×

3

4

×3=

9

8

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓C的方程，求△MNT的面積的最大值．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．