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19.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知向量a=(-1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t),θ∈R.
(1)若ABa,且|AB|=5|OA|,求向量OB;
(2)若向量AC與向量a共線(xiàn),常數(shù)k>0,求f(θ)=tsinθ的值域.

分析 (1)AB=(n-8,t),由ABa,且|AB|=5|OA|,可得-(n-8)+2t=0,n82+t2=85,聯(lián)立解出即可得出.
(2)AC=(ksinθ-8,t),由向量AC與向量a共線(xiàn),常數(shù)k>0,可得t=-2ksinθ+16,f(θ)=tsinθ=-2ksin2θ+16sinθ=-2ksinθ4k2+32k.對(duì)k分類(lèi)討論,利用三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)AB=(n-8,t),∵ABa,且|AB|=5|OA|,∴-(n-8)+2t=0,n82+t2=85,
解得t=±8,t=8時(shí),n=24;t=-8時(shí),n=-8.
∴向量OB=(24,8),(-8,-8).(2)AC=(ksinθ-8,t),
(2)∵向量AC與向量a共線(xiàn),常數(shù)k>0,∴t=-2ksinθ+16,
∴f(θ)=tsinθ=-2ksin2θ+16sinθ=-2ksinθ4k2+32k
①k>4時(shí),04k1,∴sinθ=4k時(shí),f(θ)=tsinθ取得最大值32k,
sinθ=-1時(shí),f(θ)=tsinθ取得最小值-2k-16,此時(shí)函數(shù)f(θ)的值域?yàn)?[-2k-16,\frac{32}{k}]. ②4>k>0時(shí),\frac{4}{k}$>1.∴sinθ=1時(shí),f(θ)=tsinθ取得最大值-2k+16,
sinθ=-1時(shí),f(θ)=tsinθ取得最小值-2k-16,
此時(shí)函數(shù)f(θ)的值域?yàn)閇-2k-16,-2k+16].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線(xiàn)定理、模的計(jì)算公式、三角函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(2)過(guò)點(diǎn)P(0,2)作斜率為\sqrt{3}的直線(xiàn)l,交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn),求直線(xiàn)l的參數(shù)方程及|PA|+|PB|的值.

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