Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，且b_n=a_2n-2，n∈N^*
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，設(shè)，設(shè)S_n=C₁+C₂+…+C_n，求證：S_n＜6．

Answer 1

【答案】分析：（I）分別將n=2，3，4代入到a_n+1=中即可得到a₂，a₃，a₄的值．
（II）根據(jù)b_n=a_2n-2，然后進(jìn)行整理即可得到b_n+1=b_n，從而證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（III）先根據(jù)（2）中{b_n}的通項(xiàng)公式求出C_n，然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而求得S_n與6的大�。�
解答：解：（Ⅰ），，（12分）
（Ⅱ）（5分）
=，又
∴數(shù)列{b_n}是公比為的等比數(shù)列，且．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，∴．
令．①
∴②
①-②得=∴．（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用遞推關(guān)系求數(shù)列前幾項(xiàng)，以及等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．