Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)F1 ， F2的距離之和為2 ，且它的離心率與雙曲線x2﹣y2=2的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），AF1的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)C．
①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；
②求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）由橢圓的定義知2a=2 ，

雙曲線x2﹣y2=2的離心率為 ，

故橢圓 的離心率e= ，

故a= ，c=1，b=1；

故橢圓的方程為 +y2=1；

（2）①證明：設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），則C（﹣xA，﹣yA），

設(shè)直線BA的方程為y=k（x+1），

聯(lián)立方程 化簡(jiǎn)得，

（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

∴xA+xB=﹣ ，

yA+yB=k（xA+xB）+2k=k（﹣ +2）=k ，

∴kABkBC=k = =﹣ ；

②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，

可知A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），C（1，﹣ ），

故S△ABC= ，

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，由①知，

xA+xB=﹣ ，xAxB= ，

故|xA﹣xB|=

=2 ，

故|AB|= |xA﹣xB|

=2 ，

點(diǎn)C到直線AB的距離d= = ，

故S△ABC= （2 ）

=2

=2 ＜ ，

故△ABC面積的最大值為 ，此時(shí)AB的方程為x+1=0．

【解析】（1）易知2a=2 ，e= ，從而解得；（2）①設(shè)A（xA ， yA），B（xB ， yB），則C（﹣xA ， ﹣yA），從而設(shè)直線BA的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程化簡(jiǎn)（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，從而可得xA+xB=﹣ ，yA+yB=k ，從而證明．②分情況討論以分別確定△ABC的面積的取值范圍，從而解得．