設(shè)S為集合{1,2,3,…,100}的具有下列性質(zhì)的子集:S中任意兩個(gè)不同元素之和不被7整除,那么S中元素最多可能有________個(gè)?

45
分析:集合{1,2,3,…,100}中所有的數(shù)都除以7取余數(shù),分為7組,即余數(shù)分別為0,1,2,3,4,5,6;
其中余數(shù)為0時(shí),有14個(gè),余數(shù)為1時(shí),有15個(gè),余數(shù)為2時(shí),有15個(gè),余數(shù)為3時(shí),有14個(gè),余數(shù)為4時(shí),有14個(gè),余數(shù)為5時(shí),有14個(gè),余數(shù)為6時(shí),有14個(gè);顯然,余數(shù)為1和余數(shù)為6,余數(shù)為2和余數(shù)為5,余數(shù)為3和余數(shù)為4不能同時(shí)在S中,余數(shù)為0時(shí)只能有一個(gè)元素在S中;所以,S最大時(shí)應(yīng)是余數(shù)為1時(shí)+余數(shù)為2時(shí)+余數(shù)為3(或余數(shù)為4)時(shí)+余數(shù)為0時(shí)的一個(gè)元素的個(gè)數(shù)和.
解答:集合{1,2,3,…,100}中所有的數(shù)都除以7取余數(shù),可分為7組,即余數(shù)分別為0,1,2,3,4,5,6;
其中余數(shù)為0時(shí),有{7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98}共14個(gè);
余數(shù)為1時(shí),有{1,8,15,…,99}共15個(gè);
余數(shù)為2時(shí),有{2,9,16,…,100}共15個(gè);
余數(shù)為3時(shí),有{3,10,17,…,94}共14個(gè);
余數(shù)為4時(shí),有{4,11,18,…,95}共14個(gè);
余數(shù)為5時(shí),有{5,12,19,…,96}共14個(gè);
余數(shù)為6時(shí),有{6,13,20,…,97}共14個(gè);
根據(jù)題意知,余數(shù)為1和余數(shù)為6,余數(shù)為2和余數(shù)為5,余數(shù)為3和余數(shù)為4不能同時(shí)在S中,余數(shù)為0時(shí)只能有一個(gè)元素在S中;
所以,S最大時(shí)應(yīng)是余數(shù)為1時(shí)+余數(shù)為2時(shí)+余數(shù)為3(或余數(shù)為4)時(shí)+余數(shù)為0時(shí)的一個(gè)元素,共45個(gè)元素.
故答案為:45.
點(diǎn)評(píng):本題以集合與元素為數(shù)學(xué)模型,考查了數(shù)列規(guī)律性的探求問題,解題時(shí)應(yīng)仔細(xì)分析,尋找問題的關(guān)鍵,得出結(jié)論.
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