Question

已知拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過點P（0，p）的直線l與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l₁和l₂，記l₁和l₂相交于點M．
（Ⅰ）證明：直線l₁和l₂的斜率之積為定值；
（Ⅱ）求點M的軌跡方程．

Answer 1

解：
（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+p，
將其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0（2分）
設A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=-2p²（3分）
將拋物線的方程改寫為，求導得．
所以過點A的切線l₁的斜率是，過點B的切線l₂的斜率是，
故，所以直線l₁和l₂的斜率之積為定值-2（6分）

（Ⅱ）解：設M（x，y）．因為直線l₁的方程為y-y₁=k₁（x-x₁），即，
同理，直線l₂的方程為，
聯(lián)立這兩個方程，消去y得，
整理得，注意到x₁≠x₂，所以（10分）
此時（12分）
由（Ⅰ）知，x₁+x₂=2pk，所以，
所以點M的軌跡方程是：y=-p．（14分）
分析：（Ⅰ）依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx+p，將其代入x²=2py，消去y整理得x²-2pkx-2p²=0．設A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=-2p²，將拋物線的方程改寫為，求導得．由此能夠證明直線l₁和l₂的斜率之積為定值；
（Ⅱ）設M（x，y）．因為直線l₁的方程為y-y₁=k₁（x-x₁），即，同理，直線l₂的方程為，
聯(lián)立這兩個方程，消去y得，由此能夠求出點M的軌跡方程．
點評：本題考查點的軌跡方程，解題時要注意韋達定理的合理運用和公式的靈活運用．