求證:雙曲線(xiàn)=1(a＞0,b＞0)上任何一點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為定值.

答案：
解析：

 思路分析：可以在雙曲線(xiàn)上任意找一點(diǎn)，把這點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離表示出來(lái)，化簡(jiǎn)即可看出.

證明:設(shè)雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)P(asecθ,btanθ),

∵雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為bx+ay=0和bx-ay=0,

∴點(diǎn)P到直線(xiàn)bx+ay=0的距離d1=;

點(diǎn)P到直線(xiàn)bx-ay=0的距離d2=.

∴d1·d2=.

∴雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為定值.

方法歸納 (1)所謂定值,是與P點(diǎn)在曲線(xiàn)上的位置無(wú)關(guān)的,為了達(dá)到目標(biāo)明確,可先通過(guò)特殊的情況,求出一個(gè)常數(shù),猜想其定值.

(2)雙曲線(xiàn)=1(a＞0,b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),不作過(guò)高要求,在解題中靈活應(yīng)用,類(lèi)似于換元法解題,將可達(dá)到一元化的目的.


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