Question

8．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₁經(jīng)過伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\frac{x}{2}}\\{y'=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y}\end{array}}\right.$得到曲線C₂，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)坐標(biāo)系．
（1）分別求出曲線C₁與曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）若P為曲線C₂上的任意一點，M，N分別為曲線C₁的左右頂點，求|PM|+|PN|的最大值且求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和平方關(guān)系求出曲線C₁的普通方程，由ρ²=x²+y²和題意求出C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出曲線C₂參數(shù)方程，設(shè)P點的參數(shù)坐標(biāo)，求出點M、N的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出|PM|+|PN|并化簡，再化簡（|PM|+|PN|）²，利用正弦函數(shù)的最值求出（|PM|+|PN|）²的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$，可得曲線的直角坐標(biāo)的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
曲線C₂的方程變?yōu)?\left\{{\begin{array}{l}{x'=cosθ}\\{y'=cosθ}\end{array}}\right.$，曲線C₂的直角坐標(biāo)的方程為x²+y²=1，
把$\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入上述的曲線的方程可得3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
即曲線C₁的方程為3ρ²+ρ²sin²θ=12，曲線C₂的極坐標(biāo)的方程為ρ=1．
（2）曲線C₁的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，所以左右頂點分別為（-2，0），（2，0），曲線C₂的方程為x²+y²=1，設(shè)點P（cosα，sinα），$|{PM}|+|{PN}|=\sqrt{{{（cosα+2）}^2}+{{sin}^2}α}+\sqrt{{{（cosα-2）}^2}+{{sin}^2}α}=\sqrt{5+4cosα}+\sqrt{5-4cosα}$∴${（|{PM}|+|{PN}|）^2}=10+2\sqrt{25-16{{cos}^2}α}≤10+2\sqrt{25-16×0}=20$，
∴${（|{PM}|+|{PN}|）_{max}}=2\sqrt{5}$
當(dāng)cosα=0時，sinα=±1．
點P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）時，取最大值．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，兩點間的距離公式，以及求最值問題，考查化簡、計算能力