Question

甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以與乙船相同的速度由A處向南偏西60°方向行駛，如圖所示，問經(jīng)過多少小時(shí)后，甲、乙兩船相距最近，此時(shí)兩船相距多少海里？并請(qǐng)描述此時(shí)甲船相對(duì)與海島O的位置．（海島O在A的正東方向10海里處）

Answer 1

分析：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)C，D兩點(diǎn)，表示出AC與AD，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出CD的最小值，以及此時(shí)x的值，根據(jù)三角形ACO為頂角為150°，底角為15°，腰長(zhǎng)為10的等腰三角形，求出底邊，即為AO的長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)C，D兩點(diǎn)，
則AC=10x，AD=AB-BD=20-10x，
∴CD²=AC²+AD²-2AC•AD•cos60°=（10x）²+（20-10x）²-2×10x×（20-10x）×

1

2

=100x²+100x²-400x+400-200x+100x²=300x²-600x+400=300（x-1）²+100，
∵當(dāng)CD²取得最小值100時(shí)，CD取得最小值10，
∴當(dāng)x=1時(shí)，CD取得最小值，此時(shí)△ACD為等邊三角形，
則經(jīng)過1小時(shí)后，甲乙船相距最近，距離為10海里，
此時(shí)甲船在海島O的西偏南15°處，與O相距2×10cos15°=5（

6

+

2

）（海里）（cos15°=cos（45°-30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

6 + 2

4

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．