10.下列函數(shù)中,最小值為2的是( 。
A.y=x+$\frac{1}{x}$B.y=sinx+$\frac{1}{sinx}$,x∈(0,$\frac{π}{2}$)
C.y=4x+2x,x∈[0,+∞)D.y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$

分析 在A中,當(dāng)x>0時(shí),y=x+$\frac{1}{x}$≥2;當(dāng)x<0時(shí),y=x+$\frac{1}{x}$≤-2;在B中,由sinx<1,知y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值不為2;在C中,當(dāng)x=0時(shí),y=4x+2x取最小值為2;在D中,由$\sqrt{{x}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$,得y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值不是2.

解答 解:在A中,當(dāng)x>0時(shí),y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$時(shí),取等號(hào);
當(dāng)x<0時(shí),y=x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=-2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$時(shí),取等號(hào).故A錯(cuò)誤;
在B中,∵x∈(0,$\frac{π}{2}$),∴sinx∈(0,1),
∴y=sinx+$\frac{1}{sinx}$≥$2\sqrt{sinx•\frac{1}{sinx}}$=2,
當(dāng)且僅當(dāng)sinx=$\frac{1}{sinx}$,即sinx=1時(shí),取等號(hào),
由sinx<1,知y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值不為2.故B錯(cuò)誤;
在C中,∵x∈[0,+∞),∴4x∈[1,+∞),2x∈[1,+∞),
∴當(dāng)x=0時(shí),y=4x+2x取最小值為2,故C正確;
在D中,y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$$≥2\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=2,
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$,即$\sqrt{{x}^{2}+2}=1$時(shí)取等號(hào),
∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$,∴y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值不是2,故D錯(cuò)誤.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最小值的判斷,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意均值不等式的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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