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15.已知函數(shù)fx=sin2x+3sinxcosx12
(1)求f(x)單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角,A,B,C的對(duì)邊,a=23c=4fA是f(x)在(0,π)上的最大值,求△ABC的面積.

分析 (1)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f(x)=sin(2x-\frac{π}{6}),解不等式2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}可可得單調(diào)減區(qū)間;
(2)由題意可得A=\frac{π}{3},由余弦定理可得b=2,代值計(jì)算可.

解答 解:(1)化簡(jiǎn)可得f(x)=sin2x+\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}
=\frac{1}{2}(1-cos2x)+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x
=sin(2x-\frac{π}{6}),
由2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}可得kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+\frac{π}{3},kπ+\frac{5π}{6}](k∈Z);
(2)由(1)知f(x)=sin(2x-\frac{π}{6}),
當(dāng)x∈(0,π)時(shí),-\frac{π}{6}<2x-\frac{π}{6}\frac{11π}{6}
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象,當(dāng)2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2},即x=\frac{π}{3}時(shí),f(x)取得最大值,
∵f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,
∴A=\frac{π}{3},
在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,
即12=b2+16-2×4b×\frac{1}{2},
解得b=2,
∴△ABC的面積S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×4sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形,涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式余弦定理以及三角形的面積,屬中檔題.

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