Question

已知函數(shù)f（x）=x³-mx²-x+1，其中m為實數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-成立，其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²-2mx-1，
△=4m²+12＞0，
∴f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根：，，x₁＜x₂．
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，即f（x）單調遞減；
當x＞x₂或x＜x₁時，f′（x）＞0，即f（x）單調遞增．
綜上所述，f（x）的單調遞減區(qū)間為：[，]；
單調遞增區(qū)間為：（-∞，）、（，+∞）．
（2）∵對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-成立，
∴3x²-2mx-1）≥|x|-，
①當x＞0時，，
即3x+≥2m+1在x＞0時恒成立，
因為3x+≥2=3，
當x=時，等號成立，
所以3≥2m+1，即m≤1．
②當x＜0時，3|x|²+（2m-1）|x|+，
即3|x|+≥1-2m在x＜0時，恒成立，
∵3|x|+，
當x=-時等號成立．
所以3≥1-2m，即m≥-1．…（11分）
③當x=0時，m∈R．…（12分）
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．…（13分）
分析：（1）由f′（x）=3x²-2mx-1，△=4m²+12＞0，知f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根：，，由此能求出f（x）的單調區(qū)間．
（2）由對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-成立，知3x²-2mx-1）≥|x|-，由此進行分類討論，能夠求出實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的性質、導數(shù)、不等式等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、分類與討論的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．