精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的上端點(diǎn)為B，短軸上的兩個三等分點(diǎn)為P，Q，且F1PF2Q為正方形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過點(diǎn)B作此正方形的外接圓的切線在x軸上的一個截距為-
3
2
4
，求此橢圓方程．
分析：（1）根據(jù)題意可表示出P的坐標(biāo)和F1的坐標(biāo)，利用正方形的性質(zhì)推斷出c=
b
3
，進(jìn)而利用橢圓a，b和c的關(guān)系求得a和b的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．
（2）先根據(jù)B的坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系求得一條切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示出直線的方程，利用截距求得c，進(jìn)而求得a和b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）由題意知：P(0，
b
3
)，設(shè)F1（-c，0）
因?yàn)镕1PF2Q為正方形，所以c=
b
3

即b=3c，∴b2=9c2，即a2=10c2，
所以離心率e=
10
10

（2）因?yàn)锽（0，3c），由幾何關(guān)系可求得一條切線的斜率為2
2
，
所以切線方程為y-3c=2
2
x，即y=2
2
x+3c，
因?yàn)樵谳S上的截距為-
3
2
4
，所以c=1，
所求橢圓方程為：
x2
10
+
y2
9
=1
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．求橢圓的離心率時最重要的是：通過挖掘題設(shè)的信息，找到橢圓方程中的a，b和c的關(guān)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點(diǎn)，C，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）證明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設(shè)圓x2+y2=t2上任意點(diǎn)M（x0，y0）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點(diǎn)，則OQ1⊥OQ2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的動點(diǎn)Q，過動點(diǎn)Q作橢圓的切線l，過右焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個端點(diǎn)，Q為橢圓上一個動點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，右焦點(diǎn)為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P（x1，x2）（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)-1＜a＜-
1
2
，則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的離心率的取值范圍是（　�。�

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