Question

設f（x）是定義在R上的函數，對m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：當x∈R時，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）在R上是減函數．

Answer 1

分析：（1）由已知中，對m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=0，易得f（0）=1；
（2）令m=-n，結合（1）的結論，可得f（x）與f（-x）互為倒數，結合當x＞0時，0＜f（x）＜1，易得答案；
（3）設x₁＞x₂，易根據f（m+n）=f（m）•f（n）得：f（x₁）=f（x₂）•f（x₁-x₂），根據當x∈R時，恒有f（x）＞0，利用作商法，可得f（x₁）＜f（x₂），進而根據函數單調性的定義，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
則f（n）=f（0）•f（n），
則f（0）=1
（2）由（1）中結論可得：
令m=-n
則f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）與f（-x）互為倒數，
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴當x＜0時，f（x）＞1，
又由x=0時，f（0）=1
故當x∈R時，恒有f（x）＞0；
（3）設x₁＞x₂，
∴f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）•f（x₁-x₂）
由（2）知當x∈R時，恒有f（x）＞0，
所以

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1
所以f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是減函數

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，其中（1）（2）的關鍵是“湊”的思想，而（3）的關鍵是根據（2）的結論，而選擇作商法是解答的關鍵．