Question

如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE和AD的交點，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求直線AB與平面EBC所成的角的大��；
（Ⅲ）求二面角A-EB-C的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC． …（1分）
∵平面ACDE⊥平面ABC，
又∵BC⊥AC，∴BC⊥平面EAC．…（3分）
∵AM?平面EAC，∴BC⊥AM． …（4分）
∴AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）連接BM，
∵AM⊥平面EBC，∴∠ABM是直線AB與平面EBC所成的角． …（5分）
設EA=AC=BC=2a，則，，…（6分）
∴，∴∠ABM=30°．
即直線AB與平面EBC所成的角為30°． …（8分）
（Ⅲ）過A作AH⊥EB于H，連接HM． …（9分）
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB．
∴EB⊥平面AHM．∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角． …（10分）
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC．∴EA⊥AB．
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．
由（Ⅱ）所設EA=AC=BC=2a可得，，∴． …（12分）∴．∴∠AHM=60°．
∴二面角A-EB-C等于60°． …（14分）
分析：（Ⅰ）要證AM⊥平面EBC，關鍵是尋找線線垂直，利用四邊形ACDE是正方形，可得AM⊥EC．利用平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面EAC，從而有BC⊥AM．故可證
（Ⅱ）要求直線AB與平面EBC所成的角，連接BM，根據(jù)AM⊥平面EBC，可知∠ABM是直線AB與平面EBC所成的角，故可求．
（Ⅲ）先最初二面角A-EB-C的平面角． 再在Rt△EAB中，利用AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．由（Ⅱ）所設EA=AC=BC=2a可得，，∴．從而可求二面角A-EB-C的平面角．
點評：本題以面面垂直為載體，考查線面垂直，考查線面角，面面角，關鍵是作、證、求．