Question

已知拋物線的方程為y=ax²-1，直線l的方程為y=

x

2

，點(diǎn)A（3，-1）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在拋物線上．
（1）求拋物線的方程；
（2）已知P（

1

2

，1），點(diǎn)F（0，-

15

16

）是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求|MP|+|MF|的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)B、C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)，△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形．試探究直線BC是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件求出點(diǎn)A（3，-1）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為坐標(biāo)A′（1，3），點(diǎn)A′（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，由此能求出拋物線的方程．
（2）由F（0，-

15

16

）是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為（0，-1），求出拋物線的準(zhǔn)線為x=-

17

16

，由此能求出|MP|+|MF|的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）BC所在的直線經(jīng)過定點(diǎn)（-

1

2

，

1

4

）．令y=4x²-1=0，得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，0），利用直線垂直的性質(zhì)和直線斜率的關(guān)系能求出直線BC的方程為即y=2（x₁+x₂）（2x+1）+

1

4

，由此能證明直線BC經(jīng)過定點(diǎn)（-

1

2

，

1

4

）．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)A（3，-1）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為坐標(biāo)為A′（x，y），
則

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

，解得

x=1 y=3

，（3分）
把點(diǎn)A′（1，3）代入y=ax²-1，解得a=4，
∴拋物線的方程為y=4x²-1．（4分）
（2）∵F（0，-

15

16

）是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為（0，-1），
∴拋物線的準(zhǔn)線為x=-

17

16

，（5分）
過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，由拋物線的定義知|MF|=|MA|，
∴|MP|+|MF|=|MP|+|MA|≥|PA|，
當(dāng)且僅當(dāng)P、M、A三點(diǎn)共線時(shí)“=”成立，（7分）
即當(dāng)點(diǎn)M為過點(diǎn)P所作的拋物線準(zhǔn)線的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，
|MP|+|MF|取最小值，
∴（|MP|+|MF|）_min=1-（-

17

16

）=

33

16

，
這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，0）．（9分）
（3）BC所在的直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，

1

4

），
令y=4x²-1=0，得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，0），
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），x₁≠x₂，
則kBC=

y 1-y2

x1-x2

=

4(x12-x22)

x1-x2

=4（x₁+x₂），（10分）
kBD=4(x1+

1

2

)，kCD=4(x2+

1

2

)，（11分）
∵BD⊥CD，∴kBD•kCD=16(x1+

1

2

)(x2+

1

2

)=-1，
即x1x2=-

5

16

-

1

2

(x1+x2)，
直線BC的方程為y-y₁=4（x₁+x₂）（x-x₁），
即y=4（x₁+x₂）x-4x1 x2-1=2（x₁+x₂）（2x+1）+

1

4

，（13分）
∴直線BC經(jīng)過定點(diǎn)（-

1

2

，

1

4

）．（14分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查兩條線段和最小值的求法，考查直線過定點(diǎn)的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．