Question

若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a1=9，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（a_n+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)積為T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記b_n=

lgTn

lg(an+1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并求使S_n＞2014的n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）代入點(diǎn)，得到遞推式，配方，由新定義，即可判斷，再兩邊取對(duì)數(shù)，由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（II）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，即可得到；
（III）運(yùn)用分組求和方法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，通過判斷n的范圍解不等式，即可得到最小值．

解答： （I）證明：由題意得：an+1=

a

2 n

+2an，
即 an+1+1=(an+1)2，
則{a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”．                        
又有l(wèi)g（a_n+1+1）=2lg（a_n+1）得
{lg（a_n+1）}是以lg（a₁+1）為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（II）解：由（I）知lg(an+1)=lg(a1+1)•2n-1=2n-1，lgTn=lg(a1+1)(a2+1)…(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)=

1(1-2n)

1-2

=2n-1．
（III）解：bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
Sn=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2+

1

2n-1

，
又S_n＞2014，即2n-2+

1

2n-1

＞2014，
n+

1

2n

＞1008，
又 0＜

1

2n

＜1，
則n_min=1008．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查判斷和運(yùn)算能力，屬于中檔題．