Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-kx+b，其中k，b為實數(shù)．
（Ⅰ）當b=6時，不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜m}，求實數(shù)k及m的值；
（Ⅱ）當b=2時，是否存在實數(shù)k，使得不等式f（sinx）≥k-1對任意的實數(shù)x∈[0，

π

2

]恒成立？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當b=6時，由題意x=2是方程f（x）=0的根，所以k=5，再利用韋達定理可求m的值；
（Ⅱ）當b=2時，存在實數(shù)k，使得不等式f（sinx）≥k-1對任意的實數(shù)x∈[0，

π

2

]恒成立，等價于k≤

sin2x+3

sinx+1

．求出右邊的最值，即可求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當b=6時，由題意x=2是方程f（x）=0的根，所以k=5；
k=5時，2+m=5，所以m=3；
（Ⅱ）當b=2時，存在實數(shù)k，使得不等式f（sinx）≥k-1對任意的實數(shù)x∈[0，

π

2

]恒成立，
等價于k≤

sin2x+3

sinx+1

．
令g（x）=

sin2x+3

sinx+1

，則g（x）=（sinx+1）+

4

sinx+1

-2≥2，
∵x∈[0，

π

2

]，∴1≤sinx+1≤2，當且僅當sinx=1時，g（x）取最小值2，
∴k的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查二次不等式的解法，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．