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證明：對任意大于1的正整數n，有
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
＜
1
2
．
考點：不等式的證明
專題：證明題,綜合法
分析：利用裂項法求出左邊的和，即可證明結論．
解答： 證明：∵
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∴有
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=
1
2
-
1
n+1
，
∵n＞1，
∴
1
2
-
1
n+1
＜
1
2
，
∴
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
＜
1
2
．
點評：本題考查不等式的證明，考查裂項法求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知冪函數y=x 
p
q
（|p|、|q|是互質的整數）的圖象如圖所示，則p、q的關系為（　�。�
A、pq＞0，p、q均為奇數
B、pq＜0，p、q均為奇數
C、pq＜0，p為奇數，q為偶數
D、pq＜0，p為偶數，q為奇數

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知同心圓：x2+y2=25與x2+y2=9，若從外圓上一點做內圓的兩條切線，則兩條切線的夾角為（　�。�
A、arctan
4
3
B、2arctan
4
3
C、π-arctan
4
3
D、π-2arctan
4
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={（x，y）丨ax+by=10}，C={（2，4），（4，3）}，若C?A，求實數a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，G為△ABC的重心，a•
GA
+b•
GB
+c•
GC
=
0
．
（1）求
AG
+
BG
+
CG
的值；
（2）判定△ABC的形狀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a1=
5
4
，an=
5nan-1
4an-1+n-1
（n≥2）．
（1）求證：{
n
an
-1}為等比數列，并求an；
（2）用數學歸納法證明：a1•a2…an＜
n!
1-
1
5
-
1
52
-…-
1
5n
（n≥2）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：（x+2）2+y2=4，過M（2，0）作直線L．
（1）若L和⊙C相切，求直線L的方程；
（2）若L和⊙C相交于A，B兩點，當△ACB面積最大時，求直線L的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}中，已知a1∈（1，2），an+1=an3-3an2+3an，n∈N*，求證：（a1-a2）（a3-1）+（a2-a3）（a4-1）+…+（an-an+1）（an+2-1）＜
1
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設(x+2)(2x+3)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11，則a1+a3+a5+a7+a9+a11=
 
．

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