Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)x∈[-

π

3

， 

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用和差化積和二倍角公式化簡整理求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而用三角函數(shù)的周期公式求得答案．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值和最小值，即函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期為π．

（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

2

]，
∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
又f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
∴f(x)∈[-

3

， 2]，
f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

3

， 2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的周期及其求法．解題的關(guān)鍵對函數(shù)解析式化簡整理，利用正弦或余弦的函數(shù)的基本性質(zhì)求得答案．