Question

設(shè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線過點(diǎn)P（2，4），過P作拋物線的動(dòng)弦PA，PB，并設(shè)它們的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若k₁k₂=1，求證直線AB恒過定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)拋物線方程，根據(jù)拋物線過點(diǎn)（2，4），把其代入即可求出拋物線的方程；
（2）先根據(jù)k₁k₂=1，得到關(guān)于A，B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)兩點(diǎn)式寫出直線方程，結(jié)合所求的結(jié)論，即可證直線AB恒過定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，可設(shè)所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
因拋物線過點(diǎn)（2，4），故4²=4p，p=4，拋物線方程為y²=8x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則k1=

y1-4

x1-2

=

y1-4

y12 8 -2

=

8

y1+4

k2=

y2-4

x2-2

=

y1-4

y22 8 -2

=

8

y2+4

．
∵k₁k₂=1，∴

8

y1+4

•

8

y2+4

=1，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）-48=0．
直線AB的方程為y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，即（y₁+y₂）y-y₁y₂=8x．
將y₁y₂=-4（y₁+y₂）+48代入上式得：
（y₁+y₂）（y+4）=8（x+6），
即（8x+48）-（y₁+y₂）（y+4）=0．
令k=-（y₁+y₂），則方程化為（8x+48）+k（y+4）=0．
由直線系方程得

8x+48=0 y+4=0

，解得

x=-6 y=-4

．
∴該直線恒過定點(diǎn)（-6，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵在于充分利用斜率間的關(guān)系，同時(shí)注意解題過程中坐標(biāo)運(yùn)算的簡化．此題是中檔題．