Question

袋中裝有大小相等的3個(gè)白球，2個(gè)紅球和n個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，每取得一個(gè)黑球0分，用ξ表示所得分?jǐn)?shù)，已知得0分的概率為

1

6

．
（Ⅰ）袋中黑球的個(gè)數(shù)n；
（2）ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．
（3）求在取得兩個(gè)球中有一個(gè)是紅球的條件下，求另一個(gè)是黑球的概率．

Answer 1

分析：（1）由p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，知n²-3n-4=0，由此能求出袋中有黑球個(gè)數(shù)．
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4.p(ξ=0)=

1

6

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，P（ξ=2）=

C 2 3 + C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，P(ξ=3)=

C 1 3 + C 1 2

C 2 9

=

1

6

，P(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
（3）記摸出的兩個(gè)球中有一個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，有一個(gè)黑球?yàn)槭录﨎，則

.

A

為兩個(gè)球都不是紅球．所以兩個(gè)球中有一個(gè)是紅球的概率為P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 7

C 2 9

=1-

21

36

=

15

36

，兩個(gè)球?yàn)橐患t一黑的概率P(A∩B)=

C 1 2 C 1 4

C 2 9

=

2

9

，由此能求出取得的兩個(gè)球中有一個(gè)紅球的條件下，另一個(gè)是黑球的概率．

解答：解：（1）∵p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，…（3分）
∴n²-3n-4=0，解得n=-1（舍去）或n=4，
即袋中有4個(gè)黑球．  …（4分）
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4．
∵p(ξ=0)=

1

6

，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，
P（ξ=2）=

C 2 3 + C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，
P(ξ=3)=

C 1 3 + C 1 2

C 2 9

=

1

6

，
P(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

…（7分）
∴ξ的概率分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

…（9分）
（3）記摸出的兩個(gè)球中有一個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，有一個(gè)黑球?yàn)槭录﨎，則

.

A

為兩個(gè)球都不是紅球．
所以兩個(gè)球中有一個(gè)是紅球的概率為P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 7

C 2 9

=1-

21

36

=

15

36

，
兩個(gè)球?yàn)橐患t一黑為事件A∩B，其概率P(A∩B)=

C 1 2 C 1 4

C 2 9

=

2

9

，
所以在取得的兩個(gè)球中有一個(gè)紅球的條件下，另一個(gè)是黑球的概率為：
P(B|A)=

P(A∩B)

P(A)

=

2 9

15 36

=

8

15

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率的性質(zhì)和應(yīng)用．