Question

已知函數(shù)f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調性；
（2）求證：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

n-1

2(n+1)

（n≥2，n∈N₊）；
（3）當a=0時，求證：f（x）≤

2

ex

-

1

ex

．

Answer 1

分析：（1）先求導得f^′（x），通過對a分類討論即可得出；
（2）利用（1）的結論，取a=

1

2

時，當x＞1時，f（x）單調遞增，f（x）＞f（1），從而得出x²＞lnx＞0，取倒數(shù)得

1

lnx

＞

1

x2

，令x=k，再利用放縮和裂項求和即可得出；
（3）要證-lnx≤

2

ex

-

1

ex

?xlnx≥

x

ex

-

2

e

?（xlnx）_min≥(

x

ex

-

2

e

)max，利用導數(shù)分別求出其極值即最值即可證明．

解答：解：（1）f（x）=（a-1）lnx+ax²，定義域為（0，+∞）．
∵f′(x)=

a-1

x

+2ax=

2ax2+a-1

x

．
當a≥1時，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當a≤0時，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調遞減；
當0＜a＜1時，令f'（x）=0，解得x=

1-a 2a

．
則當x∈(0，

1-a 2a

)時，f'（x）＜0；x∈(

1-a 2a

，+∞)時，f'（x）＞0．
故f（x）在(0，

1-a 2a

)單調遞減，在(

1-a 2a

，+∞)單調遞增．
（2）當a=

1

2

時，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2，
由（1）知，x＞

1-a 2a

=

2

2

時，y=f（x）遞增，
所以x＞1時，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2＞f(1)=

1

2

⇒lnx＜x2-1＜x2
∵x＞1，
∴x²＞lnx＞0，
∴

1

lnx

＞

1

x2

，令x=k，則

1

lnk

＞

1

k2

＞

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

(k≥2)，

∴ 1 ln2 + 1 ln3 + 1 ln4 +…+ 1 lnn ＞( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+1 ) = 1 2 - 1 n+1 = n-1 2(n+1) (n≥2，n∈N+)

（3）就是要證lnx≥

1

ex

-

2

ex

，即需證xlnx≥

x

ex

-

2

e

．
令g（x）=xlnx，則由g'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，
當x＞

1

e

時g（x）遞增，當0＜x＜

1

e

時g（x）遞減，
所以g（x）的最小值為g(

1

e

)=-

1

e

．
設?(x)=

x

ex

-

2

e

，
當Φ ′(x)=

1-x

ex

=0時，x=1．
當x＞1時g（x）遞減；當0＜x＜1時g（x）遞增．
所以?（x）的最大值為?(1)=-

1

e

，
因為g（x）的最小值不小于?（x）的最大值，
即xlnx≥

x

ex

-

2

e

，所以xlnx≥

x

ex

-

2

e

．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值和最值、分類討論的思想方法和等價轉化的思想方法是解題的關鍵．