Question

設點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），T（x₀，f（x₀））在函數(shù)f（x）=x³-ax（a＞0）的圖象上，其中x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，x₀（x₀≠0）是f（x）的一個零點，若函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，則a=______．

Answer 1

令f（x）=0，（a＞0），則x(x+

a

)(x-

a

)=0，解得x=0，±

a

．
∵x₀（x₀≠0）是f（x）的一個零點，∴x0=-

a

或x0=

a

．
∵f^′（x）=3x²-a=3(x+

3a

3

)(x-

3a

3

)，
令f^′（x）=0，解得x=±

3a

3

，列表如下：
由表格可知：當x=

3a

3

時，函數(shù)f（x）取得極小值，且f(

3a

3

)=-

2a 3a

9

；
當x=-

3a

3

時，函數(shù)f（x）取得極大值，且f(-

3a

3

)=

2a 3a

9

；
不妨設A(-

3a

3

，

2a 3a

9

)，B(

3a

3

，-

2a 3a

9

)．∴KAB=

-2a

3

．
根據表格作出如下圖象：
①當x0=

a

時．f′(

a

)=2a，
∵函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，
∴-

2a

3

×2a=-1，（a＞0），解得a=

3

2

．
②當x0=-

a

時．f′(

a

)=2a，
∵函數(shù)f（x）的圖象在T處的切線與直線AB垂直，
∴-

2a

3

×2a=-1，（a＞0），解得a=

3

2

．
綜上可知：滿足條件的a的值為

3

2

．
故答案為

3

2

．