Question

如圖，△ABC在平面α內(nèi)，∠ACB=90°，AB=2BC=2，P為平面α外一個動點，且PC=

3

，∠PBC=60°
（Ⅰ）問當PA的長為多少時，AC⊥PB．
（Ⅱ）當△PAB的面積取得最大值時，求直線BC與平面PAB所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AC⊥BC，當AC⊥PC時，AC⊥PB，由此能求出當PA=

6

時，AC⊥PB．
（Ⅱ）由已知條件推導出當△PAB的面積取得最大值時，∠PBA=90°，從而能求出∠CBD就是直線BC與平面PAB所成角，由此能求出直線BC與平面PAB所成角的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
當AC⊥PC時，AC⊥平面PBC，而PB?平面PBC，∴AC⊥PB，
此時，PA=

AC2+PC2

=

3+3

=

6

，
即當PA=

6

時，AC⊥PB．
（Ⅱ）在△PBC中，∵PC=

3

，∠PBC=60°，BC=1，
∴BC⊥PC，當△PAB的面積取得最大值時，∠PBA=90°，
如圖，在Rt△PBA中，∵AB=PB=2，∴BD=

2

，
又在Rt△BCD中，∵BC=1，∴CD=1，
∵PA⊥平面BCD，∴平面BCD⊥平面PBA，
∴∠CBD就是直線BC與平面PAB所成角，
在Rt△BCD中，∵BC=CD=1，∴∠CBD=45°，
∴直線BC與平面PAB所成角的大小為45°．

點評：本題考查異面直線垂直的條件的判斷，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．