Question

【題目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ﹣ ，a∈R．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a= 時(shí)，證明：f（x）＞f′（x）+ 對(duì)于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

，

當(dāng)a≤0，x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）= （x+ ）（x﹣ ），

①0＜a＜2時(shí) ，

當(dāng) 時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng) 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

②a=2時(shí) ，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；

③a＞2時(shí)， ，

當(dāng) 單調(diào)遞增，

當(dāng) 時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

綜上所述，

當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在1， ）內(nèi)單調(diào)遞減，在（ ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0， ）內(nèi)單調(diào)遞增，在（ ，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．

（2）證明：由（1）知， 時(shí)，

= ，

設(shè) ，

f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）則g′（x）= ≥0，

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

又 ，設(shè)（x）=﹣5x2﹣4x+12，則（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，

∴x0∈[1，2]使得x∈（1，x0）時(shí)（x）＞0，x∈（x0，2）時(shí)（x）＜0，

∴h（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，2）上單調(diào)遞減，

∵ ，

∴ ，

即 對(duì)于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出f（x）﹣f′（x）的表達(dá)式，分別令 ，則f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性怎么即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．