Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x=2+t y= 3 t

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為：ρ²cos2θ=1．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：對第（1）問，利用二倍角公式cos2θ=cos²θ-sin²θ及極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換公式

ρcosθ=x ρsinθ=y

，即可將曲線C的方程化為直角坐標方程；
對第（2）問，將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立曲線C的方程，消去y，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得x₁+x₂及x₁•x₂的值，結(jié)合直線的斜率k，利用弦長公式|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

，即可求得直線l被曲線C截得的弦長．

解答： 解：（1）由ρ²cos2θ=1，得ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，…①
將ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式中，得曲線C的普通方程為x²-y²=1．…①
（2）由直線l的參數(shù)方程

x=2+t y= 3 t

，消去t，得普通方程為y=

3

(x-2)．…②
將②式代入①式中，整理得2x²-12x+13=0，
設直線l與曲線C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理得

x1+x2= 12 2 x1•x2= 13 2

，
又由②式得直線l的斜率k=

3

，
根據(jù)弦長公式，有|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 3 )2+1

•

( 12 2 )2-4× 13 2

=2

10

．

點評：1．極坐標方程化直角坐標方程，一般通過兩邊同時平方，兩邊同時乘以ρ等方式，構(gòu)造或湊配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式轉(zhuǎn)化．常見互化公式有ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

(x≠0)等．
2．參數(shù)方程化普通方程，關(guān)鍵是消參，常見消參方式有：代入法，兩式相加、減，兩式相乘除，方程兩邊同時平方等．
3．若直線與曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線的斜率為k，聯(lián)立直線與曲線的方程，消去y，再利用韋達定理將x₁+x₂及x₁•x₂的值整體代入弦長公式|AB|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

中即可達到目的，此思路體現(xiàn)了“設而不求”的思想．