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設函數f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)設a>0,g(x)=(a2+8)ex,確定f(x)與g(x)在[0,4]上值域;
(3)若存在x1,x2∈[0,4],使得|f(x1)-g(x2)|<3成立,求a的取值范圍.
分析:(1)先根據導數乘法的運算法則求出函數的導函數,然后討論f'(x)=0時兩根大小,然后分別解不等式f'(x)<0與f'(x)>0,從而求出函數的單調區(qū)間;
(2)由(1)知,當a>0時,f(x)在區(qū)間[0,4]上的單調性,從而求出函數f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域,根據g(x)在[0,4]上單調遞增,可求出g(x)在[0,4]的值域;
(3)若F∩G≠∅,則一定存在x1,x2∈[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<3成立,若F∩G=∅,則只要|fmax(x)-gmin(x)|<3或|gmax(x)-fmin(x)|<3,建立關于a的不等關系,解之即可.
解答:解:(1)f'(x)=-[x2+(a-2)x-3a-3]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x
當a<-4時,f'(x)<0⇒x<3或x>-a-1,f'(x)>0⇒3<x<-a-1.
∴f(x)單調減區(qū)間為(-∞,3),(-a-1,+∞),單調增區(qū)間為(3,-a-1).
當a>-4時,f'(x)<0⇒x>3或x<-a-1,f'(x)>0⇒-a-1<x<3.
∴f(x)單調減區(qū)間為(-∞,-a-1),(3,+∞),單調增區(qū)間為(-a-1,3).
當a=-4時,f'(x)≤0,f(x)單調減區(qū)間為,(-∞,+∞).
(2)由(1)知,當a>0時,f(x)在區(qū)間(0,3)上的單調遞增,
在區(qū)間(3,4)上單調遞減,而f(0)=-(2a+3)e3,f(4)=(2a+13)e-1,f(3)=a+6.
那么f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是F=[-(2a+3)e3,a+6]
g(x)在[0,4]的值域為G=[a2+8,(a2+8)e4],
(3)若F∩G≠∅,則一定存在x1,x2∈[0,4]使得|f(x1)-g(x2)|<3成立.
若F∩G=∅,則只要|fmax(x)-gmin(x)|<3或|gmax(x)-fmin(x)|<3,
由于(a2+8)e4>a2+8>a+6>-(2a+3)e3
所以,
a2+8-(a+6)<3
a>0

解得:0<a<
1+
5
2
點評:本題主要考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,以及利用導數研究函數的單調性,同時考查了分類討論的數學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)若函數y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數恰有3個,求實數a的取值范圍;
(3)對于函數f(x)與g(x)定義域上的任意實數x,若存在常數k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②當x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列;
④關于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數為( �。�

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2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數恰有3個,求實數a的取值范圍;
(3)對于函數f(x)與g(x)定義域上的任意實數x,若存在常數k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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