已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+3x,且x=3是f(x)的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;  
(2)求f(x)在x∈[1,5]上的最小值和最大值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)f′(x)=3x2-2ax+3. 由于x=3是f(x)的極值點(diǎn),可得f′(3)=0,解出a并驗(yàn)證即可得出.
(2)f(x)=x3-5x2+3x.令f′(x)=3x2-10x+3=0,解得 x=3,或 x=
1
3
(舍去).列出表格即可得出極值.
解答: 解:(1)f′(x)=3x2-2ax+3. 
∵x=3是f(x)的極值點(diǎn),∴f′(3)=27-6a+3=0,
解得a=5,
經(jīng)過驗(yàn)證:a=5滿足x=3是f(x)的極值點(diǎn).
∴a=5.
(2)f(x)=x3-5x2+3x.
令f′(x)=3x2-10x+3=0,解得 x=3,或 x=
1
3
(舍去)
當(dāng)x變化時(shí),f'(x)、f(x)的變化情況如下表:
x1(1,3)3(3,5)5
f′(x)0+0-0
f(x)-1-915
因此,當(dāng)x=3時(shí),f(x)在區(qū)間[1,5]上有最小值為f(3)=-9;
當(dāng)x=5時(shí),f(x)在區(qū)間[1,5]上有最大值是f(5)=15.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知角α是第二象限角,且sinα=
1
3
,求cos(π+α)及tanα的值;
(2)已知tanβ=
1
2
,①求
sinβ+2cosβ
cosβ-3sinβ
的值;②求sin2β-3sinβcosβ+4cos2β的值.

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(文科)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1
(1)求橢圓C的方程;
(2)求與橢圓C焦點(diǎn)相同,離心率為
3
2
的雙曲線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
x
+lnx,g(x)=tx-
t-1+2e
x
-1nx(t≥0)
(1)當(dāng)t=0時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x0∈[1,e],使得g(x0)>f(x0),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,對(duì)?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)當(dāng)x>y>e-1時(shí),求證:ex-y
ln(x+1)
ln(y+1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)f(x)=
3
x
+3lnx的極值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
a
x
-2lnx.
(1)若f(x)在x=2時(shí)有極值,求實(shí)數(shù)a的值和f(x)的極大值;
(2)若f(x)在定義域上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=sin2x+acosx+2的最大值為g(a).
(1)求g(a)的表達(dá)式;
(2)解不等式g(2sinx+4)≤5;
(3)若函數(shù)F(x)=g(x)-kx-3在[0,+∞]上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線
x2
a2
-
y2
9
=1的左支上一點(diǎn)P,該雙曲線的一條漸近線方程3x+4y=0,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別雙曲線的左右焦點(diǎn),若|PF1|=10,則|PF2|=
 

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