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12.已知函數(shù)f(x)=x2-ax•lnx+ax恰有兩個零點x1,x2
(1)求a的范圍;
(2)求證:x1x2>e4

分析 (1)要使得f(x)=x(x-alnx+a)有兩個零點,即g(x)=x-alnx+a有兩個零點,即求g(x)的最小值要小于0即可.
(2)要求證x1x2>e4 即求證lnx1x2>4;令x1x2=tt1,lnx1x2=x1x2+1x1x21lnx1x2+2=t+1t1lnt+2;所以,原不等式即證:t+1t1lnt+24

解答 解:(1)f(x)=x(x-alnx+a),函數(shù)的定義域為(0,+∞)
設g(x)=x-alnx+a,所以g(x)有兩個零點,g'(x)=xax,
a≤0時,g(x)單調遞增,顯然不成立;
a>0時,令g'(x)=0,則導函數(shù)零點為x=a;所以f(x)在(0,a)上單調遞減,(a,+∞)上單調遞增,
故g(x)最小值為g(a)=a-alna+a,要使得g(x)有兩個零點,
則g(a)<0,解得:e2<a
所以a的取值范圍為:(e2,+∞)
證明:(2)因為${x}_{1}-aln{x}_{1}+a=0\$ ①; x2-alnx2+a=0  ②;
①+②:lnx1x2=x1+x2+2aa;
①-②:x1x2=alnx1x2;
x1x2=tt1,lnx1x2=x1x2+1x1x21lnx1x2+2=t+1t1lnt+2
所以,原不等式即證:t+1t1lnt+24
即證:lnt2t1t+1
設h(t)=lnt-2t1t+1,有h'(t)=1t4t+12=t12tt+120
所以h(t)單調遞增,所以h(t)>h(1)=0,所以不等式得證.

點評 本題主要考查了函數(shù)零點、利用導數(shù)求函數(shù)的最小值以及轉化思想在證明中的應用,屬中等題.

練習冊系列答案
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