分析 (1)要使得f(x)=x(x-alnx+a)有兩個零點,即g(x)=x-alnx+a有兩個零點,即求g(x)的最小值要小于0即可.
(2)要求證x1x2>e4 即求證lnx1x2>4;令x1x2=t(t>1),lnx1x2=x1x2+1x1x2−1•lnx1x2+2=t+1t−1•lnt+2;所以,原不等式即證:t+1t−1•lnt+2>4
解答 解:(1)f(x)=x(x-alnx+a),函數(shù)的定義域為(0,+∞)
設g(x)=x-alnx+a,所以g(x)有兩個零點,g'(x)=x−ax,
a≤0時,g(x)單調遞增,顯然不成立;
a>0時,令g'(x)=0,則導函數(shù)零點為x=a;所以f(x)在(0,a)上單調遞減,(a,+∞)上單調遞增,
故g(x)最小值為g(a)=a-alna+a,要使得g(x)有兩個零點,
則g(a)<0,解得:e2<a
所以a的取值范圍為:(e2,+∞)
證明:(2)因為${x}_{1}-aln{x}_{1}+a=0\$ ①; x2-alnx2+a=0 ②;
①+②:lnx1x2=x1+x2+2aa;
①-②:x1−x2=alnx1x2;
令x1x2=t(t>1),lnx1x2=x1x2+1x1x2−1•lnx1x2+2=t+1t−1•lnt+2
所以,原不等式即證:t+1t−1•lnt+2>4
即證:lnt>2•t−1t+1
設h(t)=lnt-2•t−1t+1,有h'(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0
所以h(t)單調遞增,所以h(t)>h(1)=0,所以不等式得證.
點評 本題主要考查了函數(shù)零點、利用導數(shù)求函數(shù)的最小值以及轉化思想在證明中的應用,屬中等題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 奇函數(shù) | B. | 偶函數(shù) | C. | 非奇非偶函數(shù) | D. | 其他 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 若“p且q”為假,則p,q至少有一個是假命題 | |
B. | 命題“?x∈R,x2-x-1<0”的否定是““?x∈R,x2-x-1≥0” | |
C. | 設A,B是兩個集合,則“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要條件 | |
D. | 當a<0時,冪函數(shù)y=xa在(0,+∞)上單調遞減 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 2√1313 | C. | 5√1326 | D. | 7√1326 |
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