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方程sinx+
3
cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩解α，β，則α+β=
 
．
分析：利用輔助角公式將sinx+
3
cosx+a=0轉化為-a=2sin（x+
π
3
），構造函數f（x）=2sin（x+
π
3
）與y=-a，并在同一坐標系中作出其圖象，數形結合即可求得α+β的值．
解答：解：∵sinx+
3
cosx+a=0，
∴-a=sinx+
3
cosx=2（
1
2
sinx+
3
2
cosx）=2sin（x+
π
3
），
令f（x）=2sin（x+
π
3
），y=-a，
∵0＜x＜2π，
∴
π
3
＜x+
π
3
＜2π+
π
3
=
7π
3
，
在同一坐標系中作出f（x）=2sin（x+
π
3
）與y=-a的圖象，
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由圖知，當x=
π
6
，即x+
π
3
=
π
2
時，f（x）取到最大值2，當x=
7π
6
時，x+
π
3
=
7π
6
+
π
3
=
3π
2
，f（x）取到最小值-2；
方程sinx+
3
cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩解α，β?直線y=-a與曲線f（x）=2sin（x+
π
3
）在（0，2π）內有兩個不同的交點，
當交點的橫坐標分別為α1與β1時，α1+β1=
π
3
；
當交點的橫坐標分別為α2與β2時，α2+β2=
7π
3
；
∴α+β=
π
3
或
7π
3
．
故答案為：
π
3
或
7π
3
．
點評：不同考查兩角和與差的正弦函數，考查函數的零點與方程根的關系，作圖是難點，考查作圖與分析的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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方程sinx-
3
cosx=
2
的解集是
 

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設關于x的方程sinx+
3
cosx+a=0在（0，2π）內有相異二解α、β．
（1）求α的取值范圍．（2）求tan（α+β）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若方程sinx-
3
cosx-m=0在x∈[0，π]上有解，則實數m的取值范圍是
[-
3
，2]
[-
3
，2]
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

方程sinx+
3
cosx+a=0在（0，π）內有兩相異的解α，β，則α+β為
π
3
π
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知方程sinx+
3
cosx+a=0在區(qū)間[0，2π]上有且只有兩個不同的解，則實數a的取值范圍是
a∈（-2，-
3
）∪（-
3
，2）
a∈（-2，-
3
）∪（-
3
，2）
．

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