Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點（$\sqrt{2}$，1），且以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設M（x，y）是橢圓C上的動點，P（p，0）是x軸上的定點，求|MP|的最小值及取最小值時點M的坐標．

Answer 1

分析 （I）由已知中以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形．且橢圓C過點（$\sqrt{2}$，1），可得：橢圓的標準方程；
（Ⅱ）根據M（x，y）是橢圓C上的動點，P（p，0）是x軸上的定點，求出|MP|的表達式，分類討論，可得|MP|的最小值及取最小值時點M的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由題意，以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形，
所以 b=c，a²=2b²，則橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$．
又因為橢圓C：過點A（$\sqrt{2}$，1），
所以$\frac{2}{{2{b^2}}}+\frac{1}{b^2}=1$，
故a=2，b=.$\sqrt{2}$
所以橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．--------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）|MP|²=（x-p）²+y²．
因為 M（x，y）是橢圓C上的動點，
所以$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
故 ${y^2}=2（1-\frac{x^2}{4}）=2-\frac{x^2}{2}$．
所以 ${|{MP}|^2}={（x-p）^2}+2-\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}{x^2}-2px+{p^2}+2=\frac{1}{2}{（x-2p）^2}-{p^2}+2$．
因為M（x，y）是橢圓C上的動點，
所以|x|≤2．
（1）若|2p|≤2，即|p|≤1，
則當x=2p 時，|MP|取最小值$\sqrt{2-{p^2}}$，
此時M$（2p，±\sqrt{2-2{p^2}}）$．
（2）若p＞1，則當x=2 時，|MP|取最小值|p-2|，此時M（2，0）．
（3）若p＜-1，則當x=-2 時，|MP|取最小值|p+2|，此時M（-2，0）．-------13分

點評 本題考查的知識點是直線與橢圓的位置關系，橢圓的標準方程，二次函數的圖象和性質，難度中檔．