Question

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA依次成等差數(shù)列．
（1）求角B；
（2）若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式和內(nèi)角和定理，求出B的余弦值，然后求角B的大�。�
（2）由△ABC的外接圓的面積為π，求出半徑，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA依次成等差數(shù)列．
∴acosC+ccosA=2bcosB，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
則sinB=2sinBcosB，
∴cosB=

1

2

，
由于0＜B＜π，則B=

π

3

；
（2）∵△ABC的外接圓的面積為π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=2×1×

3

2

=

3

，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)，即ac的最大值為3，
∴△ABC面積為

1

2

acsinB≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．
則△ABC面積的最大值為

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意角的范圍的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．