Question

6．在△ABC中，已知$AB=\sqrt{3}$，$C=\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可先畫出圖形，對(duì)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$的兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得到$3=|\overrightarrow{CB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}-|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|$，根據(jù)不等式a²+b²≥2ab即可得到$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|≤3$，這樣便可求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值．

解答 解：如圖，

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$；
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{CB}}^{2}+{\overrightarrow{CA}}^{2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$；
∴$3=|\overrightarrow{CB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}-|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|$$≥2|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|-|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|$；
即$|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|≤3$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|≤\frac{3}{2}$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及不等式a²+b²≥2ab的運(yùn)用．