Question

已知函數（a，b，c為實數）．
（1）求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）
（2）若a+b-3c=9，求（1）中m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+配方得：3（x-）²+a²+b²+c²，再利用二次函數的性質即可求得f（x）的最小值；
（2）先由柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+1²+（-3）²]≥（a+b-3c）²，結合題中條件：“a+b-3c=9”，即可求得m的最小值．
解答：解：（1）f（x）=3x²-（2a+2b+2c）x+a²+b²+c²+
=3（x-）²+a²+b²+c²
故當x=時，f（x）的最小值m=a²+b²+c²
（2）由柯西不等式得：（a²+b²+c²）[1²+1²+（-3）²]≥（a+b-3c）²
即11m≥81
∴m的最小值為：，當且僅當a=b=，c=-時，取等號．
點評：本題主要考查了柯西不等式在函數極值中的應用及函數的最值及其幾何意義，解答關鍵是靈活運用柯西不等式