Question

已知點A，D分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，橢圓的左右焦點分別是F₁和F₂，點P是線段AD上的動點，如果

PF1

•

PF2

的最大值2，最小值是-

2

3

，那么，橢圓的C的標準方程是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：畫出圖形，結合圖形，求出線段AD的方程，寫出

PF1

•

PF2

的表達式，根據它表示的幾何意義，
得出P在A點時，

PF1

•

PF2

最大，P在點O到直線AD的距離時，

PF1

•

PF2

最小，求出a²與b²，即得橢圓的方程．

解答： 解：∵畫出圖形，如圖所示；
∴直線AD的方程是

x

-a

+

y

b

=1，x∈[-a，0]；
∴

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y），

PF1

•

PF2

=x²-c²+y²=x²+y²-c²；
設t=x²+y²，則

t

表示點P到原點O的距離，
∴當P在A點時，

t

最大，
此時

PF1

•

PF2

=（-a）²-0²-c²=b²=2；
當P在點O到直線AD的距離時，

t

最小，
此時

t

=

1

( 1 -a )2+( 1 b )2

，
∴t=

a2b2

a2+b2

=

2a2

a2+2

，
∴

PF1

•

PF2

=

2a2

a2+2

-（a²-2）=-

2

3

，
整理得3a⁴-8a²-16=0，
解得a²=4，或a²=-

4

3

（舍去）；
綜上，a²=4，b²=2，
橢圓的方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案為：

x2

4

+

y2

2

=1．

點評：本題考查了向量與橢圓的應用問題，也考查了直線與橢圓的應用問題，考查了求最值的問題，是綜合題．