【題目】如圖1,在平行四邊形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C,C1分別為AB,A1B1的中點,現把平行四邊形ABB1A1沿CC1折起如圖2所示,連接B1C,B1A,B1A1 .
(1)求證:AB1⊥CC1;
(2)若AB1= ,求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值.
【答案】
(1)證明:取CC1的中點O,連接OA,OB1,AC1,
∵在平行四邊形ABB1A1中,∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C,C1分別為AB,A1B1的中點,
∴△ACC1,△B1CC1,為正三角形,
則AO⊥CC1,OB1⊥C1C,又∵AO∩OB1=O,
∴C1C⊥平面OAB1,
∵AB1平面OAB1
∴AB1⊥CC1
(2)解:∵∠ABB1=60°,AB=4,AA1=2,C,C1分別為AB,A1B1的中點,
∴AC=2,OA= ,OB1= ,
若AB1= ,
則OA2+OB12=AB12,
則三角形AOB1為直角三角形,
則AO⊥OB1,
以O為原點,以0C,0B1,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則C(1,0,0),B1(0, ,0),C1(﹣1,0,0),A(0,0, ),
則 =(﹣2,0,0),
則 = =(﹣2,0,0), =(0, ,﹣ ), =(﹣1,0,﹣ ),
設平面AB1C的法向量為 =(x,y,z),
則 ,
令z=1,則y=1,x=﹣ ,
則 =(﹣ ,1,1),
設平面A1B1A的法向量為 =(x,y,z),則 ,
令z=1,則x=0,y=1,即 =(0,1,1),
則cos< , >= = =
由于二面角C﹣AB1﹣A1是鈍二面角,
∴二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是﹣ .
【解析】(1)根據線面垂直的性質定理,證明C1C⊥平面OAB1;(2)建立空間坐標系,利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點,需要掌握相交直線:同一平面內,有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內,沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內,沒有公共點才能正確解答此題.
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【題目】底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.已知同底的兩個正三棱錐內接于同一個球.已知兩個正三棱錐的底面邊長為a,球的半徑為R.設兩個正三棱錐的側面與底面所成的角分別為α、β,則tan(α+β)的值是 .
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【題目】已知點A(0,﹣2),橢圓E: + =1(a>0,b>0)的離心率為 ,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為 ,O是坐標原點.
(1)求E的方程;
(2)設過點A的直線l與E相交于P,Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求直線l的方程.
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【題目】如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知△A′DE(A′平面ABC)是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形,有下列命題: ①平面A′FG⊥平面ABC;
②BC∥平面A′DE;
③三棱錐A′﹣DEF的體積最大值為 a3;
④動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上;
⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范圍是[0, ].
其中正確的命題是(寫出所有正確命題的編號)
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【題目】在等差數列{an}中,a2+a7=﹣23,a3+a8=﹣29. (Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設數列{an+bn}是首項為1,公比為c的等比數列,求{bn}的前n項和Sn .
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【題目】下列命題中錯誤的個數為:( )
①y= 的圖象關于(0,0)對稱;
②y=x3+x+1的圖象關于(0,1)對稱;
③y= 的圖象關于直線x=0對稱;
④y=sinx+cosx的圖象關于直線x= 對稱.
A.0
B.1
C.2
D.3
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