Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時，則下列結論不正確的是（　�。�

• A、任意x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
• B、存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有兩個不等實數(shù)根
• C、對任意x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
• D、存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：通過函數(shù)的基本性質--奇偶性和單調性，對選項進行逐一驗證即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）是奇函數(shù)，
∴任意x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立，故A正確；
令m=

1

2

，|f（x）|=

1

2

，可解得，x=1或x=-1，故B正確；
當x≥0時，f（x）=

x

1+x

，f'（x）=

1

(x+1)2

＞0，故原函數(shù)在[0，+∞）單調遞增
當x＜0時，f（x）=

x

1-x

，f'（x）=

1

(1-x)2

＞0，故原函數(shù)在（-∞，0）單調遞增，
故函數(shù)在R上單調遞增，故C正確．
∵A，B，C三個選項都正確，故由排除法知D錯誤．
故選：D．

點評：本題主要考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要注意函數(shù)的基本性質，即奇偶性、單調性的合理運用．