Question

已知集合A={x|ax²-x+1=0，a∈R，x∈R}．
（1）若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并求出這個(gè)元素；（2）若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）集合的屬性是一個(gè)關(guān)于x的方程，且二次項(xiàng)的系數(shù)是字母，故A中只有一個(gè)元素時(shí)要考慮二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況，此題應(yīng)分為兩類求解，當(dāng)a=0時(shí)與當(dāng)a≠0時(shí)，分別轉(zhuǎn)化求出求a的值；
（2）A中至多有一個(gè)元素，限制詞中的至多說(shuō)明A中可能只有一個(gè)元素或者沒(méi)有元素，故分為兩類求解，由（1）知A中只有一個(gè)元素時(shí)參數(shù)的取值范圍，再求出A是空集時(shí)參數(shù)的取值范圍，取兩部分的并集即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，本題分為兩類求解
當(dāng)a=0時(shí)，A中只有一個(gè)元素，這個(gè)元素為1； …（3分）
當(dāng)a≠0時(shí)，令△=1-4a=0⇒a=

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4

，A中只有一個(gè)元素，這個(gè)元素為2．…（6分）
（2）A中只有一個(gè)元素說(shuō)明A中有一個(gè)元素或者沒(méi)有元素，故
若A中只有一個(gè)元素，由（1）可知：a=0或a=

1

4

．…（8分）
若A中沒(méi)有元素，即A=∅，則

a≠0 △=1-4a＜0

⇒a＞

1

4

．…（11分）
綜上，a=0或a≥

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合中的參數(shù)取值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問(wèn)題進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，此類題易因?yàn)槔斫獠蝗�面，漏掉特殊情況致錯(cuò)，（1）中易漏掉a=0時(shí)的情況，（2）中易漏掉空集這種情況，解題時(shí)要注意考慮全面，本題考查了推理判斷的能力及計(jì)算能力，是集合中綜合性較強(qiáng)的題，即考查了集合的概念，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．