【題目】如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，且.將此平面四邊形沿折成直二面角，連接、、.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）通過證明，可得平面，進而可證明平面平面；

（Ⅱ）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為以及，通過向量的夾角公式可得直線與平面所成角的正弦值.

解：（Ⅰ）因為，，

所以直二面角的平面角為，

則平面，又平面，

所以，

又，

則

即，而，平面，平面，

故平面，因為平面，

所以平面平面；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，則以為原點建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，

，，設平面的法向量為，

則，

令，得平面的一個法向量，

又，

則得，

記直線與平面所成角為，則知，

故所求角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數(shù)，從而為科學健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機計步軟件統(tǒng)計了他們某天健步的步數(shù)，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組（單位；千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖，將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.

分組（單位

千步）

頻數(shù)

10

20

20

30

400

200

200

100

20

（1）現(xiàn)規(guī)定，日健步步數(shù)不低于13000步的為“健步達人”，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有99.9%的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關；

健步達人

非健步達人

總計

40歲以上的市民

不超過40歲的市民

總計

（2）利用樣本平均數(shù)和中位數(shù)估計該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）若日健步步數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，則可認為該市民”運動適量”，其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差，計算可求得頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)的標準差約為3.64.若一市民某天的健步步數(shù)為2萬步，試判斷該市民這天是否“運動適量”？

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為等差數(shù)列，各項為正的等比數(shù)列的前項和為，，，__________.在①；②；③這三個條件中任選其中一個，補充在橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個條件解答，則以選擇第一個解答記分）.

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設橢圓的上、下頂點分別為， 點是橢圓上異于的任意一點， 軸， 為垂足， 為線段中點，直線交直線于點， 為線段的中點，若四邊形的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：；

（2）若當恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示，給出四個函數(shù)：①，②，③，④，又給出四個函數(shù)的圖象，則正確的匹配方案是（ ）．

A.①－甲，②－乙，③－丙，④－丁B.②－甲，①－乙，③－丙，④－丙

C.①－甲，③－乙，④－丙，②－丁D.①－甲，④－乙，③－丙，②－丁

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，如圖，為線段上一點，且，求的長．

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【題目】學校藝術節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學對這四件參賽作品預測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“ 作品獲得一等獎”；

丙說：“ 兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．

評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓上頂點為A，右焦點為F，直線與圓相切，其中.

（1）求橢圓的方程；

（2）不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，證明：動直線l過定點，并且求出該定點坐標.

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