Question

若斜率為2的動直線l與拋物線x²=4y相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點．
（1）若線段AB上的點P滿足，求動點P的軌跡方程；
（2）對于（1）中的點P，若點O關于點P的對稱點為Q，且，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設l的方程為y=2x+b，l與C的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
點P（x，y），由，
得，依題意，
故所求的軌跡方程為x=4（y＞4）．
（2）（理）由（1）知x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，
由，
解得-26≤b≤10，注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10
分析：（1）設l的方程為y=2x+b，l與C的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），點P（x，y），由，得，由此能得到所求的軌跡方程．
（2）由x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，知，由此能夠求出直線l在y軸上截距的取值范圍．
點評：本題考查動點P的軌跡方程和直線l在y軸上截距的取值范圍．解題時要認真審題，合理地運用圓錐曲線的性質，注意靈活地進行等價轉化．