Question

若函數(shù)f_A（x）的定義域?yàn)锳=[a，b），且f_A（x）=（

x

a

+

b

x

-1）²-

2b

a

+1，其中a、b為任意正實(shí)數(shù)，且a＜b．
（1）當(dāng)A=[4，7）時(shí)，研究f_A（x）的單調(diào)性（不必證明）；
（2）寫出f_A（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明），并求函數(shù)f_A（x）的最小值、最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）A=[4，7）時(shí)，根據(jù)

x

4

+

7

x

≥

7

，得出f_A（x）的增減區(qū)間是什么；
（2）由（1）歸納得出f_A（x）在x∈[a，b）上的增減性以及最值是什么．

解答： 解：（1）當(dāng)A=[4，7）時(shí)，f_A（x）=(

x

4

+

7

x

-1)2-

2×7

4

+1
∵

x

4

+

7

x

≥

7

，當(dāng)且僅當(dāng)x=2

7

時(shí)“=”成立，
∴當(dāng)x∈[4，2

7

]時(shí)f_A（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈[2

7

，7）時(shí)f_A（x）是增函數(shù)；
（2）f_A（x）=(

x

a

+

b

x

-1)2-

2b

a

+1在x∈[a，

ab

]上f_A（x）是減函數(shù)，
在x∈[

ab

，b）上f_A（x）是增函數(shù)；
∴當(dāng)x=

ab

時(shí)f_A（x）有最小值為(2

b a

-1)2-

2b

a

+1=

2b

a

-4

b a

+2=2(

b a

-1)2，
當(dāng)x=a時(shí)f_A（x）有最大值為(

b

a

)2-

2b

a

+1=(

b

a

-1)2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題以及求函數(shù)最值的問題，是中檔題．