Question

【題目】已知橢圓C：(a>b>0)的焦點(diǎn)F與拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)重合，直線x－y＋＝0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．

(Ⅰ)直線x＝1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，橢圓C的左焦點(diǎn)F1，求△F1MN的內(nèi)切圓的面積；

(Ⅱ)直線l與拋物線E交于不同兩點(diǎn)A，B，直線l′與拋物線E交于不同兩點(diǎn)C，D，直線l與直線l′交于點(diǎn)M，過焦點(diǎn)F分別作l與l′的平行線交拋物線E于P，Q，G，H四點(diǎn)．證明：

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用條件得橢圓方程，將x＝1代入橢圓得M，N坐標(biāo)，求出△F1MN的周長和面積，進(jìn)而得內(nèi)切圓半徑；

(Ⅱ)設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式表示弦長，進(jìn)而化簡運(yùn)算即可證明.

試題解析：

(Ⅰ) 依題意，得c＝1，e＝＝，

即＝，∴a＝2，∴b＝，∴所求橢圓C的方程為＋＝1.

直線l的方程為x＝1，得M，N，

設(shè)△F1MN的內(nèi)切圓的半徑為R，

則△F1MN的周長＝4a＝8，S△F1MN＝ (|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.

又因?yàn)?/span>S△F1MN＝3＝4R，∴R＝，所求內(nèi)切圓的面積為π.

(Ⅱ)設(shè)直線l和l′的方程分別為x＝k1y＋m1，x＝k2y＋m2，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

由方程組得

y2－4k1y－4m1＝0　①

方程①的判別式Δ>0，得4k12＋4m1>0.

由①得y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m1，

由方程組得

y2－4k2y－4m2＝0�、�

方程②的判別式Δ>0，得4k22＋4m2>0.

由②得y3＋y4＝4k2，y3y4＝－4m2.

聯(lián)立直線l與直線l′的方程可得：M點(diǎn)坐標(biāo)為.

因?yàn)閨MA|·|MB|＝(1＋k12)，代入計(jì)算得，

|MA|·|MB|＝·|(m2－m1)2＋4k1k2(m1＋m2)－4(m1k22＋m2k12)|.

同理可得

|MC|·|MD|＝(1＋k22)＝

·.

因此＝.

由于PQ，HG分別與直線l和直線l′平行，故可設(shè)其方程分別為x＝k1y＋1，x＝k2y＋1.

由方程組得

y2－4k1y－4＝0.�、�

由③得yP＋yQ＝4k1，yPyQ＝－4，

因此|PQ|＝xP＋xQ＋p＝k1(yP＋yQ)＋4＝4(1＋k12)．

同理可得|HG|＝xH＋xG＋p＝k1(yH＋yG)＋4＝4(1＋k22)．

故＝.

所以＝.