Question

已知直線l：y=kx+1與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B兩點．
（1）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（2）若O為坐標原點，S（k）表示△OAB的面積，f(k)=[S(k)]2+

3

k2+1

，求f（k）的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求弦AB的中點M的軌跡方程，設點M（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，由題意知MN與MC所在直線垂直得到一個關系式，化簡即得點M的軌跡方程．
（2）先將y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得到一個關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求出4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，最后結合導數(shù)求解函數(shù)f（k）的最大值即可．

解答：解：（1）直線l與y軸的交點為N（0，1），圓心C（2，3），設M（x，y），
∵MN與MC所在直線垂直，∴

y-1

x

•

y-3

x-2

=-1，（x≠0且x≠2），
當x=0時不符合題意，當x=2時，y=3符合題意，
∴AB中點的軌跡方程為：x²+y²-2x-4y+3=0，

7- 7

4

＜x＜

7+ 7

4

．（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵S_△OAB=S_△ONB-S_△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=

1

2

•|ON|•|x2-x1|
將y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∵x1+x2=

4(1+k)

1+k2

，x1•x 2=

7

1+k2

∴4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

32k-12-12k2

(1+k2)2

，
∴f(k)=S2(k)+

3

k2+1

=

8k

(k2+1)2

，（10分）
∵由f′(k)=

-24(k+ 3 3 )(k- 3 3 )

(k2+1)3

=0，∴k=±

3

3

，∵△＞0得

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

，
∴k=

3

3

時，f（k）的最大值為

3 3

2

．（14分）

點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求最值的基本技能和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．